Model Matematika

Masalah Program linier adalah mengenai optimalisasi dengan keterbatasan tertentu. Keterbatasan dan optimalisasi ini harus dibentuk dahulu model matematikanya ;
yang secara garis besar dibagi 2 bagian :
- constraint ( Persyaratan )
- objective Function (Fungsi Tujuan / Sasaran)

Langkah
- Tentukan variabelnya (x=... ; y = ....)
- Buat model matematikanya dari : 1) Fungsi tujuan dan 2) Persyaratan
- Tentukan daerah yang memenuhi persyaratannya
- Tentukan titik esktrim daerah tersebut
- Substitusi koordinat titik ekstrim ke fungsi tujuan
- Bandingkan nilai yang didapat
- Jawaban disesuaikan dengan pertanyaan (maksimum/minimum)



contoh :

MASALAH MAKSIMUM

1. Seorang pedagang akan membuat kue A dan B. Kue A membutuhkan    150 gr tepung dan 50 gr mentega. Kue B membutuhkan 75 gr tepung    dan 75 gr mentega. Tepung yang tersedia ada 2250 gr dan mentega    yang tersedia ada 1750 gr. Jika kue A memberi keuntungan Rp 100,00    dan kue B Rp 125,00 tiap unitnya. Berapa keuntungan maksimum    yang mungkin diperoleh pedagang itu ?

   Tabel

	Kue A	Kue B	Tersedia
Tepung Mentega	150 50	75 75	2250 1750
KEUNTUNGAN	100	125

    Misalkan banyaknya kue A yang dibuat x buah dan kue B yang dibuat     y buah, maka persoalan menjadi :

   Maksimumkan :
   f(x,y) = 100x + 125y (fungsi objektif/keuntungan)

   dengan syarat (ds):
   150x + 75y £ 2250 ® 2x + y £ 30 ...(1)
   50 x + 75y £ 1750 ® 2x + 3y £ 70 ...(2)
   x,y ³ 0
   catatan : bentuk persyaratan £

Titik Ekstrim

A(0,23 1/3) ; B(15,0) ; (5,20)
f(x,y) = 100x + 125y
f(A) = 100(0) + 125(23) = 2875
(dalam hal ini roti tidak pecahan)
f(B) = 100(15) + 125(0) = 1500
f(C) = 100(5) + 125(20) = 3000

Jadi keuntungan maksimum pedagang itu adalah Rp 3.000,00 ; yaitu dengan membuat 5 unit kue A dan 20 unit kue B.

2. Seorang penjahit pakaian mernpunyai persediaan barang katun 16 m,     sutera 11 m dan wool 15 m.
    Model pakaian I membutuhkan 2 m katun, 1 m sutera dan 1 m wool     per unit. Model pakaian II membutuhkan 1 m
    katun, 2 m sutera dan 3 m wool per unit.Keuntungan pakaian model I     Rp 3.000,00 dan model pakaian II Rp 5.000,00 per unit.
    Tentukan berapa banyak masing-masing pakaian harus dibuat agar     didapat keuntungan yang sebesar-besarnya ?

Tabel

	Model I	Model II	Tersedia
Katun Sutera Wool	2 1 1	1 2 3	16 11 15
KEUNTUNGAN	3000	5000

Misalkan : Banyaknya model I yang dibuat = x
                             model II yang dibuat = y


Maksimumkan f (x,y) = 3000x + 5000y

ds : 2x + y £ 16 (1)
      x + 2y £ 11 (2)
      x + 3y £ 15 (3)
      x;y ³ 0

Titik Ekstrim

A(8,0) ® TP antara garis (1) dengan sb-x
B(7,2) ® TP antara garis (1) dengan (2)
C(3,4) ® TP antara garis (2) dengan (3)
D(0,5) ® TP antara garis (3) dengan sb-y

f (x,y) = 3000x + 5000y

f(A) = f(8,0) = 3000(8) + 5000(0) = 24.000
f (B) = f(7,2) = 3000(7) + 5000(2) = 31.000
f(C) = f(3,4) = 3000(3) + 5000(4) = 29.000
f(D) = f(0,5) = 3000(0) + 5000(5) = 25.000

Jadi keuntungan maksimum adalah Rp 31.000; yaitu dengan membuat 7 buah model pakaian I dan 2 buah model pakaian II.

MASALAH MINIMUM

3)Dalam satu minggu tiap orang membutuhkan paling sedikit 16 unit    protein , 24 unit karbohidrat dan 18 unit lemak Makanan A    mengandung protein, karbohidrat dan lemak berturut-turut 4, 12 dan    2 unit setiap kg. Makanan B mengandung protein, karbohidrat dan    lemak berturut turut 2 , 2 dan 6 unit setiap kg. Berapa kg    masing- masing makanan harus dibeli setiap minggunya, agar    kebutuhan terpenuhi, tetapi dengan biaya semurah-murahnya, bila 1    kg makanan A harganya Rp 1.700,00 dan 1 kg makanan B harganya    Rp 800,00 ?

Tabel

	A	B	Kebutuhan
Protein Karbohidrat Lemak	4 12 2	2 2 6	16 24 15
HARGA	1700	800

Misalkan : Banyaknya makanan A yang dibeli adalah x kg
              Banyaknya makanan B yang dibeli adalah y kg

Minimumkan f (xy) = 1700x + 800y
ds : 4x + 2y ³ 16 ® 2x + y ³ 8 (1)
     12x + 2y ³ 24 ® 6x + y ³ 12 (2
     2x + 6y ³ 18                   ®   x + 3y ³ 9 (3)
     (Catatan : Bentuk persyaratan ³ )
Titik Ekstrim

A (0,12) adalah titik potong antara garis (2) dan sumbu y.
B (1, 6) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (2).
C (3, 2) adalah titik potong antara garis (1) dan garis (3).
D (9, 0) adalah titik potong antara garis (3) dan sumbu y.

f (x,y) = 1700x + 800y

f(A) = f(0,12) = 1700(0) + 800(12) = 9600
f(B) = f(1, 6) = 1700 (1) + 800( 6 ) = 6500
f(C) = f(3, 2) = 1700(3) + 800( 2 ) = 6700
f(D) = f(9, 0) = 1700(9) + 800( 0 ) = 15300

Jadi biaya minimum adalah Rp 6.500; yaitu dengan membeli 1 kg makanan A dan 6 kg makanan B. 

Sumber:
http://bebas.vlsm.org/v12/sponsor/Sponsor-Pendamping/Praweda/Matematika/0388%20Mat%201-6d.htm

Ditulis oleh : khairul anas ~ All- Round About Knowledge

Sobat sedang membaca artikel tentang Model Matematika. Oleh Admin, Sobat diperbolehkan mengcopy paste atau menyebar-luaskan artikel ini, namun jangan lupa untuk meletakkan link dibawah ini sebagai sumbernya <a href="https://khairul-anas.blogspot.com/2011/01/model-matematika.html" target="_blank">Model Matematika</a>